Question

求由三条曲线y=x²，4y=x²，y=1 所围图形的面积．

Answer 1

分析：根据对称性，只算出y轴右边的图形的面积再两倍即可，求出y=1与y=x²，4y=x²的交点坐标，然后选择x为积分变量，利用定积分表示出阴影部分面积，根据定积分的定义求出面积即可．

解答：解：如图，因为y=x²，4y=x²是偶函数，根据对称性，只算出y轴右边的图形的面积再两倍即可．
解方程组

y=x2 y=1

 和

4y=x2 y=1

，
得交点坐标（-1，1），（1，1），（-2，1），（2，1）．
选择x为积分变量，则S=2[

∫

1 0

(x2-

x2

4

) dx+

∫

2 1

(1-

x2

4

) dx]=

4

3

．
∴由三条曲线y=x²，4y=x²，y=1 所围图形的面积

4

3

点评：对称性的应用和积分变量的选取都影响着计算过程的繁简程度．运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数，属于基础题．