Question

（2012•东城区模拟）已知a＞0，b＞0，函数f（x）=x²+（ab-a-4b）x+ab是偶函数，则f（x）的图象与y轴交点纵坐标的最小值为

16

．

Answer 1

分析：由题意可知函数的对称轴x=0，从而可得a+4b=ab，a＞0，b＞0，由基本不等式可得，ab=a+4b≥2

4ab

可求ab的最小值

解答：解：∵函数f（x）=x²+（ab-a-4b）x+ab是偶函数
∴函数的对称轴x=-

ab-a-4b

2

=0
∴ab-a-4b=0
∴a+4b=ab，a＞0，b＞0
由基本不等式可得，ab=a+4b≥2

4ab

（当且仅当a=4b时取等号）
∴ab-4

ab

≥0
∴ab≥16
∵f（x）=x²+ab
令x=0可得交点的纵坐标y=ab≥16，即交点的纵坐标的最小值为16
故答案为：16

点评：本题综合考查了偶函数的性质的应用及基本不等式在求解最值中的应用，属于知识的简单综合应用