Question

已知等差数列{a_n}中，公差d＞0，前n项和为S_n，a₂•a₃=45，a₁+a₅=18．
（1）求数列的{a_n}通项公式；
（2）令b_n=

Sn

n+c

（n∈N^*），是否存在一个非零数C，使数列{B_n}也为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据等差数列的通项公式以及已知条件求出首项和公差，即可求出结果．
（2）代入等差数列的前n和公式可求s_n，进一步可得b_n，然后结合b_n+1-b_n=2（n+1）-2n=2，从而可求c

解答：解：（1）由题设，知{a_n}是等差数列，且公差d＞0
则由

a2a3=45 a1+a5=18

得

(a1+d)(a1+2d)=45 a1+(a1+4d)=18

解得

a1=1 d=4

所以a_n=4n-3
（2）由bn=

Sn

n+c

=

n(1+4n-3) 2

n+c

=

2n(n- 1 2 )

n+c

因为c≠0，故c=-

1

2

，得到bn=2n
因为b_n+1-b_n=2（n+1）-2n=2，符合等差数列的定义
所以数列{b_n}是公差为2的等差数列．

点评：本题给出等差数列满足的条件，求数列{a_n}的通项公式，并依此讨论数列{b_n}能否成等差的问题．着重考查了等差数列的通项公式、求和公式和方程组的解法等知识，属于中档题．