Question

已知函数f（x）=

ax+b

1+x2

是定义在（-1，1）上的奇函数，其中a、b∈R且f（

1

2

）=

2

5

（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）判断函数y=f（x）在区间（-1，1）上的单调性，并用单调性定义证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）由奇函数的性质及f（

1

2

）=

2

5

得f（-

1

2

）=-

2

5

，由此可得关于a，b的方程组，解出可得a，b；
（2）在区间（-1，1）上任取x₁，x₂，令-1＜x₁＜x₂＜1，通过作差可比较f（x₁）与f（x₂）的大小，根据单调性的定义可得结论；

解答：解：（1）∵f（x）=

ax+b

1+x2

为奇函数，且 f（

1

2

）=

a• 1 2 +b

1+( 1 2 )2

=

2

5

，
∴f（-

1

2

）=

a•(- 1 2 )+b

1+(- 1 2 )2

=-f（

1

2

）=-

2

5

，解得：a=1，b=0．
∴f（x）=

x

1+x2

．
（2）函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数．证明如下：
在区间（-1，1）上任取x₁，x₂，令-1＜x₁＜x₂＜1，
∴f（x₁）-f（x₂）=

x1

1+x12

-

x2

1+x22

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+x12)(1+x22)

；
∵-1＜x₁＜x₂＜1，∴x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，1+x₁²＞0，1+x₂²＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性的性质及其应用，属基础题，定义是解决相关问题的基本方法，要熟练．