Question

已知函数f(x)=loga(ax2-x+

1

2

)在[1，2]上恒正，则实数a的取值范围是（　　）

• A．(

  1

  2

  ，

  5

  8

  )
• B．(

  3

  2

  ，+∞)
• C．(

  1

  2

  ，

  5

  8

  )∪(

  3

  2

  ，+∞)
• D．(

  1

  2

  ，+∞)

Answer 1

分析：设 g(x) = ax2-x+

1

2

，由g（x）＞0，可得a＞

1

x

-

1

2x2

，故a＞

1

2

，g（x）在[1，2]上是递增函数．当a＞1时，f（x）在[1，2]上是增函数，根据f（1）＞0求出a的取值范围；当

1

2

＜a＜1时，f（x）在[1，2]上是减函数，由f（2）＞0求出a的取值范围，最后把这两个范围取并集．

解答：解：设 g(x) = ax2-x+

1

2

，由g(x) = ax2-x+

1

2

＞0，可得 a＞

1

x

-

1

2x2

．
当1≤x≤2时，

1

x

-

1

2x2

的最大值为

1

2

，从而a＞

1

2

．
在a＞

1

2

的前提下，易知函数g（x）的对称轴x=

1

2a

 在区间[1，2]的左边，
从而g（x）在[1，2]上是递增函数．
当a＞1时，f（x）在[1，2]上是增函数，有f（1）=

log	(a- 1 2 ) a

＞0=log_a¹，∴a＞

3

2

．
当

1

2

＜a＜1时，f（x）在[1，2]上是减函数，有f（2）=

log	(4a-2+ 1 2 ) a

＞0=log_a¹，
∴4a-2+

1

2

＜1，a＜

5

8

．故有 

1

2

＜a＜

5

8

．
综上，a＞

3

2

   或 

1

2

＜a＜

5

8

．
故选：C．

点评：本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，二次函数的性质，复合函数的单调性，体现了分类讨论的数学思想．