Question

如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁底面ABCD为菱形，AB=1，AA₁=

6

2

，∠ABC=60°．
（1）求证：AC丄BD₁
（2）求四面体D₁AB₁C的体积．

Answer 1

分析：（1）菱形ABCD中证出AC⊥BD，由直四棱柱的性质得BB₁⊥平面ABCD，证出BB₁⊥AC，利用线面垂直判定定理证出AC⊥平面BB₁D₁D，即可得到AC丄BD₁；
（2）利用锥体体积公式，算出三棱锥B₁-ABC的体积等于直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁体积的

1

6

，同理得到三棱锥D₁-ADC的体积、三棱锥A-A₁B₁C₁的体积和
三棱锥C-B₁C₁D₁的体积都等于直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁体积的

1

6

，由此可得四面体D₁AB₁C的体积等于直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁体积的

1

3

，即可算出答案．

解答：解：（1）连结BD，交AC于O点
∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD
又∵直四棱柱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁⊥平面ABCD
∴结合AC?平面ABCD，得BB₁⊥AC
∵BB₁、BD是平面BB₁D₁D内的相交直线，
∴AC⊥平面BB₁D₁D，
∵BD₁?平面BB₁D₁D，∴AC⊥BD₁；
（2）∵菱形ABCD中，AB=1，∠ABC=60°．
∴S_ABCD=AB•BCsin60°=

3

2

∵三棱锥B₁-ABC的底面积等于菱形ABCD的一半，
设与直四棱柱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁相等，
∴三棱锥B₁-ABC的体积V_B1-ABC=

1

6

V_{ABCD-A1B1C1D1}，
同理可得：V_D1-ADC=V_C-B1C1D1=V_A-A1B1D1=

2

8

因此四面体D₁AB₁C的体积为
V=V_{ABCD-A1B1C1D1}-4×

1

6

V_{ABCD-A1B1C1D1}=

1

3

V_{ABCD-A1B1C1D1}=

1

3

×

3

2

×

6

2

=

2

4

．

点评：本题给出直四棱柱的底面是菱形，求证线线垂直并求四面体的体积．着重考查了直棱柱的性质、空间线面垂直的判定与性质、锥体和柱体的体积求法等知识，属于中档题．