Question

（2012•浙江模拟）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

1

2

，短轴长为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P是椭圆上的动点，点M，N在y轴上，圆（x+1）²+y²=1内切于△PMN，求△PMN面积的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

1

2

，短轴长为4，建立方程，求得几何量，即可求椭圆C的方程；
（2）设P（x₀，y₀），直线PM、PN的方程，利用圆心（1，0）到直线PM、PN的距离为1，建立方程，利用韦达定理，确定直线斜率之间的关系，进而表示三角形的面积，即可求△PMN面积的最小值．

解答：解：（1）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

1

2

，短轴长为4
∴b=2，

c

a

=

1

2

∴

a2-4

a2

=

1

4

∴a2=

16

3

∴椭圆C的方程为

x2

16 3

+

y2

4

=1；
（2）设P（x₀，y₀），直线PM：y-y₀=k₁（x-x₀）
∵圆心（1，0）到直线PM的距离为1
∴

|k1+y0-k1x0|

1+k12

=1
∴（x02-2x0）k12+2y₀（1-x₀）k₁+y02-1=0
同理（x02-2x0）k22+2y₀（1-x₀）k₂+y02-1=0
∴k₁+k₂=-

2y0(1-x0)

x02-2x0

，k1k2=

y02-1

x02-2x0

∴(k1-k2)2=

4x02+4y02-8x0

(x02-2x0)2

∵P（x₀，y₀）是椭圆上的点，∴4y02=16-3x02，∴2＜x0≤

4 3

3

∵y_M=y₀-k₁x₀，y_N=y₀-k₂x₀
∴S_△PMN=

1

2

|yM-yN|x0=

1

2

×

4-x0

x0-2

×x0=

2

x0-2

-

x0-2

2

∴S随x₀的增大而减小，
∴x0=

4 3

3

时，S_△PMN有最小值为

12+4 3

3

．

点评：本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，考查三角形面积的计算，属于中档题．