Question

已知曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差是1．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）过点K（-1，0）的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D．证明：点F在直线BD上．

Answer 1

（Ⅰ）根据题意知，C上每一点到点F（1，0）的距离等于它到直线x=-1的距离．
所以，曲线C上每一点在开口向右的抛物线上，…2分
其中p=2，所以抛物线方程为y²=4x．
又因为曲线C在y轴的右边，所以，曲线C的方程为y²=4x（x＞0）．…2分
（Ⅱ）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴D（x₁，-y₁），l的方程为x=my-1（m≠0）．
将x=my-1代入y²=4x，整理得y²-4my+4=0，
∴从而y₁+y₂=4m，y₁y₂=4．…2分
直线BD的方程为y-y2=

y2-(-y1)

x2-x1

•(x-x2)，即y-y2=

4

y2-y1

•(x-

y 22

4

)，…2分
令y=0，得x=

y1y2

4

=1，所以点F（1，0）在直线BD上．…2分．