Question

已知函数f(x)=ln(2+mx)-

3

2

x2．
（1）若f（x）在

1

3

处取得极值，求m的值；
（2）若以函数F(x)=f(x)+

3

2

x2(x∈(0，3])图象上任意一点P（x₀，y₀）为切点的切线的斜率k≥

1

4

恒成立，求正实数m的最小值；

Answer 1

分析：（1）由函数f(x)=ln(2+mx)-

3

2

x2，可求得f′（x）=

m

2+mx

-3x，再由f（x）在

1

3

处取得极值，建立f′(

1

3

) =

m

2+m 1 3

-1=0，求解m．
（2）根据题意：F（x）=ln（2+mx），则有∴F′(x)=

m

2+mx

≥

1

4

，x∈（0，3）恒成立，转化为：m≥

2

4-x

，x∈（0，3）恒成立，只要求得t=

2

4-x

，x∈(0，3)最大值即可．

解答：解：（1）∵函数f(x)=ln(2+mx)-

3

2

x2．
∴f′（x）=

m

2+mx

-3x
∵f（x）在

1

3

处取得极值，
∴f′(

1

3

) =

m

2+m 1 3

-1=0
∴m=3
（2）根据题意：F（x）=ln（2+mx）
∴F′(x)=

m

2+mx

∴F′(x)=

m

2+mx

≥

1

4

，x∈(0，3)恒成立，
转化为：m≥

2

4-x

，x∈(0，3)恒成立
∴m≥

1

2

∴正实数m的最小值是

1

2

．

点评：本题主要考查函数与方程的综合运用，还考查了不等式恒成立问题和函数最值的求法．