Question

已知tanα，tanβ是方程x²+3x-4=0的两根．
求（1）tan（α+β）；    
（2）

sin(α+β)

cos(α-β)

；    
（3）cos2（α+β）

Answer 1

分析：（1）由tanα，tanβ是方程x²+3x-4=0的两根，可得tanα+tanβ=-3，tanα•tanβ=-4，代入两角和的正切
公式求得tan（α+β）的值．
（2）利用两角和的正弦公式、余弦公式以及同角三角函数的基本关系，把要求的式子化为

tanα+tanβ

1+tanαtanβ

，
把（1）中的结论代入，运算求得结果．
（3）利用二倍角公式以及同角三角函数的基本关系，把要求的式子化为

1-tan2(α+β)

1+ tan2(α+β)

，把（1）中的结论
代入，运算求得结果．

解答：解：（1）∵tanα，tanβ是方程x²+3x-4=0的两根，∴tanα+tanβ=-3，tanα•tanβ=-4．
故tan（α+β）=

tanα + tanβ

1-tanα • tanβ

=-

3

5

．
（2）

sin(α+β)

cos(α-β)

=

sinαcosβ+cosαsinβ

cosαcosβ+sinαsinβ

=

tanα+tanβ

1+tanαtanβ

=

-3

1+(-4)

=1．
（3）cos2（α+β）=cos²（α+β）-sin²（α+β）=

cos2(α+β) -sin2(α+β)

cos2(α+β) +sin2(α+β)

=

1-tan2(α+β)

1+ tan2(α+β)

 
=

1- 9 25

1+  9 25

=

16

34

=

8

17

．

点评：本题考查两角和的正弦公式、余弦公式、正切公式，同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，求得
tanα+tanβ 和tanα•tanβ 的值，是解题的突破口．