Question

已知向量. 

（Ⅰ）若方程上有两实根，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）设实数m、n、r满足：m、n、r中的某一个数恰好等于a，且另两个恰为方程 的两实根，判断①m+n+r，②m²+n²+r²，③m³+n³+r³是否为定值？若是定值请求出；若不是定值，请把不是定值的表示为函数，并求的最小值；

（Ⅲ）给定函数，若对任意的，总存在，使得，求实数b的取值范围

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意知： 

∵方程上有两实根

∴  

由①得：

由②得：a<1

由3得：

从而

（Ⅱ）∵有实根，∴ 

不妨令m=a，则n，r是的两根，

从而n+r=3－a，nr=a²－3a

故m+n+r=3，

m²+n²+r²=a²+（3－a）²－2（a²－3a）=9

=

∴  

故

令  

从而在为增函数

在（0，2）上为减函数

∴a=2为极小值点，  ∴

∴

（Ⅲ）当

由题意知[15，27] 

∴