题目内容

（2011•杭州一模）已知函数f（x）=2
3
sinxcosx+2cos2x-1（x∈R），g（x）=|f（x）|．
（I）求函数g（x）的单调递减区间；
（II）若A是锐角△ABC的一个内角，且满足f（A）=
2
3
，求sin2A的值．
分析：（I）先利用二倍角公式和两角和的正弦公式将函数解析式化简为y=Asin（ωx+φ）型函数，再利用y=|sinx|的图象性质，将内层函数看作整体解不等式即可得g（x）的单调减区间；
（II）由已知得sin(2A+
π
6
)=
1
3
，可将所求角2A看做角2A+
π
6
与角
π
6
的差，利用两角差的正弦公式展开计算sin2A的值，但角2A+
π
6
的范围的确定是一个难点
解答：解：（Ⅰ） f(x)=2
3
sinxcosx+2cos2x-1=
3
sin2x+cos2x=2sin(2x+
π
6
)
则g(x)=|2sin(2x+
π
6
)|，∵y=|sinx|的单调递减区间为[kπ+
π
2
，kπ+π]，（k∈Z）．
∴由kπ+
π
2
≤2x+
π
6
≤kπ+π   得：
kπ
2
+
π
6
≤x≤
kπ
2
+
5π
12
，
则g（x）的单调递减区间为[
kπ
2
+
π
6
，
kπ
2
+
5π
12
]（k∈Z）．  
（Ⅱ）∵f（A）=
2
3
，
即：sin(2A+
π
6
)=
1
3
，
∵A∈（0，
π
2
），且sin(2A+
π
6
)＞0，
∴2A+
π
6
∈(0，π)
若2A+
π
6
∈(0，
π
2
)，则sin(2A+
π
6
)=
1
3
＜
1
2
=sin
π
6
，∴2A+
π
6
＜
π
6
，这不可能，
∴2A+
π
6
∈(
π
2
，π)，所以cos(2A+
π
6
)=-
2
2
3

∴sin2A=sin[(2A+
π
6
)-
π
6
]=sin(2A+
π
6
)cos
π
6
-cos(2A+
π
6
)sin
π
6
=
1
3
•
3
2
+
2
2
3
•
1
2
=
3
+2
2
6

即sin2A=
3
+2
2
6
．
点评：本题主要考查了利用三角变换公式化简三角函数式的方法，利用变换角的方法求三角函数值的技巧，y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，注意有三角函数值求角的范围的方法
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•
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•
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