Question

在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边长，若

m

=(cos

A

2

，sin

A

2

)，

n

=(-cos

A

2

，sin

A

2

)，a=2

3

，且

m

•

n

=

1

2

．
（Ⅰ）若△ABC的面积S=

3

，求b+c的值；
（Ⅱ）若R为△ABC的外接圆半径，且2RsinB+2RsinC＜P（P为参数）恒成立，求P的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通过向量的数量积，求出cosA的值，然后求出A，利用△ABC的面积S=

3

，以及余弦定理即可求b+c的值；
（Ⅱ）通过正弦定理求出b+c的值，推出sin（

π

3

+B）的范围，求出2RsinB+2RsinC的最大值，然后求出的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）

m

•

n

=-cos²

A

2

+sin²

A

2

=

1

2

∴cosA=-

1

2

∵A∈（0，π）∴A=

2π

3

．
由S=

1

2

cbsinA=

3

4

bc=

3

，⇒bc=4，…①
又a²=b²+c²-2bccosA可得b²+c²=8…②
所以解①②可得：b+c=4                   （6分）
（Ⅱ）由（I）可得B+C=

π

3

由正弦定理可得，2R=

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=4，得：b=4sinB，c=4sinC，
∴b+c=4（sinB+sinC）=4（sinB+sin（

π

3

-B））=4sin（

π

3

+B）
∵B∈(0，

π

3

)∴sin（

π

3

+B）∈（

3

2

，1]，
∴2RsinB+2RsinC=b+c∈(2

3

，4]…
∴p＞4                                                         （12分）
（也可用余弦定理结合基本不等式求解，解答略）

点评：本题推出向量的数量积，考查三角函数的化简求值，正弦定理以及两角和与差的三角函数，考查计算能力．