Question

已知函数f(x)=-x³+3x²+9x+a.

(1)求f(x)的单调递减区间；

(2)若f(x)在区间［-2,2］上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.

Answer 1

解：(1)f′(x)=-3x²+6x+9.

    令f′(x)＜0,解得x＜-1或x＞3.

    所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(3,+∞).

(2)因为f(-2)=8+12-18+a=2+a,

f(2)=-8+12+18+a=22+a,

    所以f(2)＞f(-2).

    因为在(-1,3)上f′(x)＞0,所以f(x)在［-1,2］上单调递增.又由于f(x)在［-2,-1］上单调递减,因此f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间［-2,2］上的最大值和最小值.

    于是有22+a=20,解得a=-2.

    故f(x)=-x³+3x²+9x-2.

    因此f(-1)=1+3-9-2=-7,即函数f(x)在区间［-2,2］上的最小值为-7.