Question

已知函数f(x)=

a(x-1)2+1

bx+c-b

（a，b，c∈N）的图象按向量

e

=(-1，0)平移后得到的图象关于原点对称，且f（2）=2，f（3）＜3．
（1）求a，b，c的值；
（2）设0＜|x|＜1，0＜|t|≤1．求证：|t+x|+|t-x|＜|f（tx+1）|
（3）定义函数G（x）=f（x）-x+2．当n为正整数时，求证：G（4）×G（6）×G（8）×…×G（2n）＞

2n+1

2

．

Answer 1

分析：（1）函数f（x）的图象按向量

e

=(-1，0)平移后得到的图象所对应的函数式为g(x)=f(x+1)=

ax2+1

bx+c

，因为图象关于原点对称，g（-x）=-g（x），即

a(-x)2+1

b(-x)+c

=-

ax2+1

bx+c

．由此结合题设条件能导出a=1，b=1．
（2）由f（tx+1）=tx+

1

tx

，知|f（tx+1）|=|tx+

1

tx

|=|tx|+|

1

tx

|≥2

|tx|•| 1 tx |

=2，再由0＜|x|＜1，0＜|t|≤1，知|tx|≠1，|f（tx+1）|＞2．由此能够证明|t+x|+|t-x|＜|f（tx+1）|．
（3）由G（x）=f（x）-x+2=

x

x-1

，令A=G（4）×G（6）×G（8）×…×G（2n）=

4

3

×

6

5

×…×

2n

2n-1

，由不等式

b

a

＞

b+m

a+m

（b＞a，a，b，m∈R⁺），得

4

3

＞

5

4

，

6

5

＞

7

6

，…，

2n-2

2n-3

＞

2n-1

2n-2

，

2n

2n-1

＞

2n+1

2n

．由此能够证明G（4）×G（6）×G（8）×…×G（2n）＞

2n+1

2

．

解答：解：（1）函数f（x）的图象按向量

e

=(-1，0)
平移后得到的图象所对应的函数式为g(x)=f(x+1)=

ax2+1

bx+c

因为图象关于原点对称，∴g（-x）=-g（x），即

a(-x)2+1

b(-x)+c

=-

ax2+1

bx+c

∵a∈N，∴ax²+1＞0，b（-x）+c=bx+c，∴c=0
∵f（2）=2，∴a=2b-1，又f（3）＜3，∴4a+1＜6b由条件知a=1，b=1
（2）∵f（x）=

(x-1)2+1

x-1

，∴f（tx+1）=tx+

1

tx

∴|f（tx+1）|=|tx+

1

tx

|=|tx|+|

1

tx

|≥2

|tx|•| 1 tx |

=2
当且仅当|tx|=1时等号成立．
但0＜|x|＜1，0＜|t|≤1，∴|tx|≠1，|f（tx+1）|＞2．
由于S=（|t+x|+|t-x|）²=2（t²+x²）+2|t²-x²|
当|t|≥|x|时，S=4t²≤4；当|t|＜|x|时S=4x²＜4．
∴|t+x|+|t-x|≤2＜|f（tx+1）|，即|t+x|+|t-x|＜|f（tx+1）|
（3）由（1）知：G（x）=f（x）-x+2=

x

x-1

令A=G（4）×G（6）×G（8）×…×G（2n）=

4

3

×

6

5

×…×

2n

2n-1

由不等式

b

a

＞

b+m

a+m

（b＞a，a，b，m∈R⁺），
得

4

3

＞

5

4

，

6

5

＞

7

6

，…，

2n-2

2n-3

＞

2n-1

2n-2

，

2n

2n-1

＞

2n+1

2n

将这些同向不等式相乘得
A＞

5

4

×

7

6

×…×

2n-1

2n-2

×

2n+1

2n

A2＞

4

3

×

5

4

×

6

5

×

7

6

×…×

2n

2n-1

×

2n+1

2n

=

2n+1

3

＞

2n+1

4

故A＞

2n+1

2

，即G（4）×G（6）×G（8）×…×G（2n）＞

2n+1

2

．

点评：本题考查不等式的证明，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．