题目内容
已知函数f（x）=aln（1+ex）-（a+1）x。
（1）已知f（x）满足下面两个条件，求a的取值范围。
①在（-∞，1]上存在极值，
②对于任意的θ∈R，c∈R直线l：xsinθ+2y+c=0都不是函数y=f（x）（x∈（-1，+∞））图象的切线；
（2）若点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3））从左到右依次是函数y=f（x）图象上三点，且2x2=x1+x3，当a＞0时，△ABC能否是等腰三角形？若能，求△ABC面积的最大值；若不能，请说明理由。
（1）已知f（x）满足下面两个条件，求a的取值范围。
①在（-∞，1]上存在极值，
②对于任意的θ∈R，c∈R直线l：xsinθ+2y+c=0都不是函数y=f（x）（x∈（-1，+∞））图象的切线；
（2）若点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3））从左到右依次是函数y=f（x）图象上三点，且2x2=x1+x3，当a＞0时，△ABC能否是等腰三角形？若能，求△ABC面积的最大值；若不能，请说明理由。
解：（1）f′（x）=a
-a-1=
，
接下来分两步：
㈠、先考虑条件①：
（i）当a+1≥0时，即a≥-1时，可得f'（x）＜0在R上恒成立，
故f（x）在区间（-∞，+∞）上为减函数，与题意不符。
（ii）当a+1＜0时，即a＜-1时，可得f'（x）≤0的解集为{x|x≥ln（-a-1）}，
此时f（x）在（ln（-a-1），+∞）上单调递减，
在（-∞，ln（-a-1））上单调递增，
从而x0=ln（-a-1）是f（x）的极大值点，
结合题意得ln（-a-1）＜1，a＞-1-e，
所以a∈（-1-e，-1）；
㈡、下面找出当a∈（-e-1，-1）时，满足条件②的a的取值范围
又∵f′（x）=
=-1-
，
设g（x）=-1-
，
则g'（x）=
＜0恒成立，
所以f′（x）在（1，+∞）上单调递减，
而f′（1）=-1-
，结合f′（x）在（1，+∞）上连续，
当x无限的趋近于+∞时，f′（x）无限的趋近于-1，
可得f′（x）∈（-1，-1-
）
直线l 的斜率k=
，则 
∵直线l 不是函数f（x）图象的切线，
∴-1-
在（1，+∞）上恒成立，
即-2a-1≤ex在（1，+∞）上恒成立，
由此可得-2a-1≤e，即a≥
综上所述，a的取值范围是[
，-1）。
（2）由（1）知，a＞0时，f（x）在区间（-∞，+∞）上为减函数，
∵A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），
∴不妨设x1＜x2＜x3，可得f（x1）＞f（x2）＞f（x3），x2=
，
下面用反证法说明A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3））三点不共线：
若A、B、C三点共线，则有f（x2）=
（f（x1）+f（x3））
所以 2
=
+
≥2
，得x1=x3与x1＜x2＜x3矛盾
接下来说明角B是钝角：
=（x1-x2，f（x1）-f（x2）），
=（x3-x2，f（x3）-f（x2））
∴
=（x1-x2）（x3-x2）+[f（x1）-f（x2）][f（x3）-f（x2）]
∵x1-x2＜0，x3-x2＞0，f（x1）-f（x2）＞0，f（x3）-f（x2）＜0，
∴
＜0，
可得∠B∈（
，π），即△ABC是中B为钝角
假设△ABC为等腰三角形，只能是
=
即：（x1-x2）2+[f（x1）-f（x2）]2=（x3-x2）2+[f（x3）-f（x2）]2
∵x2-x1=x3-x2，
∴[f（x1）-f（x2）]2=[f（x3）-f（x2）]2
结合f（x1）＞f（x2）＞f（x3），
化简得2f（x2）=f（x1）+f（x3），
也就是2aln（1+
）-2（a+1）x2=aln（1+
）（1+
）-（a+1）（x1+x3）
将2x2=x1+x3代入即得：2aln（1+
）-2（a+1）x2=aln（1+
）（1+
）-2（a+1）x2，
∴2ln（1+
）=ln（1+
）（1+
）
（1+
）2=（1+
）（1+
），
可得
+2
=
+
+
=
+
①
而事实上，若①成立，根据
+
?2
=2
，
必然得到
=
，与x1＜x3矛盾
所以△ABC不可能为等腰三角形。
-a-1=，接下来分两步：
㈠、先考虑条件①：
（i）当a+1≥0时，即a≥-1时，可得f'（x）＜0在R上恒成立，
故f（x）在区间（-∞，+∞）上为减函数，与题意不符。
（ii）当a+1＜0时，即a＜-1时，可得f'（x）≤0的解集为{x|x≥ln（-a-1）}，
此时f（x）在（ln（-a-1），+∞）上单调递减，
在（-∞，ln（-a-1））上单调递增，
从而x0=ln（-a-1）是f（x）的极大值点，
结合题意得ln（-a-1）＜1，a＞-1-e，
所以a∈（-1-e，-1）；
㈡、下面找出当a∈（-e-1，-1）时，满足条件②的a的取值范围
又∵f′（x）=
=-1-，设g（x）=-1-
，则g'（x）=
＜0恒成立，所以f′（x）在（1，+∞）上单调递减，
而f′（1）=-1-
，结合f′（x）在（1，+∞）上连续，当x无限的趋近于+∞时，f′（x）无限的趋近于-1，
可得f′（x）∈（-1，-1-
）直线l 的斜率k=
，则 ∵直线l 不是函数f（x）图象的切线，
∴-1-
在（1，+∞）上恒成立，即-2a-1≤ex在（1，+∞）上恒成立，
由此可得-2a-1≤e，即a≥
综上所述，a的取值范围是[
，-1）。（2）由（1）知，a＞0时，f（x）在区间（-∞，+∞）上为减函数，
∵A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），
∴不妨设x1＜x2＜x3，可得f（x1）＞f（x2）＞f（x3），x2=
，下面用反证法说明A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3））三点不共线：
若A、B、C三点共线，则有f（x2）=
（f（x1）+f（x3））所以 2
=+≥2，得x1=x3与x1＜x2＜x3矛盾接下来说明角B是钝角：
=（x1-x2，f（x1）-f（x2）），=（x3-x2，f（x3）-f（x2））∴
=（x1-x2）（x3-x2）+[f（x1）-f（x2）][f（x3）-f（x2）]∵x1-x2＜0，x3-x2＞0，f（x1）-f（x2）＞0，f（x3）-f（x2）＜0，
∴
＜0，可得∠B∈（
，π），即△ABC是中B为钝角假设△ABC为等腰三角形，只能是
=即：（x1-x2）2+[f（x1）-f（x2）]2=（x3-x2）2+[f（x3）-f（x2）]2
∵x2-x1=x3-x2，
∴[f（x1）-f（x2）]2=[f（x3）-f（x2）]2
结合f（x1）＞f（x2）＞f（x3），
化简得2f（x2）=f（x1）+f（x3），
也就是2aln（1+
）-2（a+1）x2=aln（1+）（1+）-（a+1）（x1+x3）将2x2=x1+x3代入即得：2aln（1+
）-2（a+1）x2=aln（1+）（1+）-2（a+1）x2，∴2ln（1+
）=ln（1+）（1+）（1+）2=（1+）（1+），可得
+2=++=+①而事实上，若①成立，根据
+?2=2，必然得到
=，与x1＜x3矛盾所以△ABC不可能为等腰三角形。
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