Question

（2014•广东模拟）已知数列{a_n}的前n项和是S_n，且S_n+

1

2

a_n=1（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₃（1-S_n+1）（n∈N^*），求适合方程

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

=

25

51

 的正整数n的值．

Answer 1

分析：（1）由S n+

1

2

an=1，得Sn-1+

1

2

an-1=1（n≥2），两式相减得a_n与a_n-1的递推式，由递推式易判断数列{a_n}为等比数列，从而可求a_n；
（2）由（1）易求得1-S_n+1，进而可求b_n，利用裂项相消法可求得

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

，从而可把方程变为关于n的方程，解出即可；

解答：解：（1）由S n+

1

2

an=1，得Sn-1+

1

2

an-1=1（n≥2），
两式相减得，a_n+

1

2

an-

1

2

an-1=0（n≥2），即an=

1

3

an-1（n≥2），
由S n+

1

2

an=1得S1+

1

2

a1=1，即

3

2

a1=1，解得a1=

2

3

，
所以数列{a_n}各项均不为0，且是以

2

3

为首项、

1

3

为公比的等比数列，
所以a_n=

2

3

×(

1

3

)n-1=

2

3n

；
（2）由（1）知，Sn+1+

1

2

an+1=1，即1-S_n+1=

1

2

an+1=

1

3n+1

，
所以b n=lo

g	(1-Sn+1) 3

=log3

1

3n+1

=-（n+1），
则

1

bnbn+1

=

1

-(n+1)[-(n+2)]

=

1

n+1

-

1

n+2

，
所以

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

2

-

1

n+2

，
所以方程

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

=

25

51

 即

1

2

-

1

n+2

=

25

51

，解得n=100，
故适合方程

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

=

25

51

 的正整数n的值为100．

点评：本题考查由数列递推公式求通项公式，考查等比数列及用列项相消法进行数列求和，熟练掌握a_n与S_n间的关系是解决本题的关键．