Question

已知海岛B在海岛A北偏东45°，A，B相距10海里，物体甲从海岛B以2海里/小时的速度沿直线向海岛A移动，同时物体乙从海岛A沿着海岛A北偏西15°方向以4海里/小时的速度移动．
（1）问经过多长时间，物体甲在物体乙的正东方向；
（2）求甲从海岛B到达海岛A的过程中，甲、乙两物体的最短距离．

Answer 1

分析：（1）由题意及图形设经过x小时，物体甲在物体乙的正东方向，则甲与A的距离为10-2x，乙与A的距离为4x，在三角形中解出即可；
（2）由题意设甲、乙的距离为d，利用余弦定理在三角形中解出距离d的值．

解答：解（1）如图：设经过x小时，物体甲在物体乙的正东方向，则甲与A的距离为10-2x，乙与A的距离为4x，AD=(10-2x)

2

2

∴cos15°=

2 (5-x)

4x

=cos(45°-30°)
∴x=

5

2+ 3

=5(2-

3

)
（2）设甲、乙的距离为d
∴cos60°=

(4x)2+(10-2x)2-d2

2×4x×(10-2x)

=

1

2

∴d²=28x²-80x+100，0＜x≤5
∵对称轴x=

10

7

∈(0，5]，∴x=

10

7

，d最小，∴d=

10 21

7

点评：此题考查了方程的思想及利用余弦定理求解三角形，还考查了二次函数的对称性及其值域．