Question

【题目】已知函数

（1）若f(x)在[0，2]上是单调函数，求a的值；

（2）已知对∈[1，2]，f(x)≤1均成立，求a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根据求导，令解得，，然后分讨论求解.

（2）解法一：根据“对，均成立”，则成立，得到，则结合（1），时，，在上增，将“对，均成立”转化为求解即可.

（1）因为

所以，

令解得，.

若即，

则对成立，函数在上单调，符合题目要求；

若即，

当时，，当时，，

函数在上不单调，不符合题目要求；

若即，

当时，，当时，，

函数在上不单调，不符合题目要求.

综上，若在上是单调函数，则取唯一值：.

（2）解法一：已知“对，均成立”，

取得，

则，，则时，，在上增，

“对，均成立”等价于，

，

与取交集，得，

所以的取值范围是

解法二：根据（1），若，则在上单减，

“在区间上，恒成立”等价于，不成立；

若即，则时，，函数在上单减，

在区间上，，“在区间上，恒成立”不成立；

若即，则时，，函数在上单增，

在区间上，，

“在区间上，恒成立” ，

解得，与相交取交集，得；

若即，则时，，时，，

函数在上递增，在上递减，

在区间上，，

“在区间上，恒成立”.

设，

则，在上递增，，

则函数在上递增，，

因此时，均不成立.

综上，所求的取值范围是