Question

如图，在直角梯形ABCD中AD∥BC，BC⊥CD，∠ABC=45°，直角梯形ABCD与矩形ADQP所在平面垂直，将矩形ADQP沿PD对折，使得翻折后点Q落在BC上，设DC=1．

（1）求证：AQ⊥DQ；
（2）求线段AD的最小值，并指出此时点Q的位置；
（3）当AD长度最小时，求直线BD与平面PDQ所成的角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）要证AQ⊥CD，只需通过平面ABCD⊥平面ADQP，证明PA⊥平面ABCD，然后证明CD⊥平面ADQP，即可
（2）设CQ=x，AD=y，在Rt△ADQ中，通过y²=DQ²+AQ²=x²+1+（y-x）²+1，利用基本不等式求出AD的最小值．
（3）连接BD交AQ于E，过点E作EF⊥PQ于F，说明∠EDF就是BD与平面PDQ所成的角，通过△PAQ为等腰直角三角形．
求出sin∠EDF．

解答：（1）证明∵平面ABCD⊥平面ADQP，PA⊥AD，
∴PA⊥平面ABCD，由已知PQ⊥QD，QD⊥PA，∴QD⊥平面AQP
AQ?平面AQP∴AQ⊥CD，…4分
（2）解：设CQ=x，AD=y，∵AQ⊥DQ，
∴在Rt△ADQ中，y²=DQ²+AQ²=x²+1+（y-x）²+1
∴y=x+

1

x

≥2，当且仅当x=1时取等号．
所以AD的最小值为2，此时CQ=1．
（3）解：由DQ⊥平面PAQ，知平面PDQ⊥平面PAQ，PQ是其交线，
连接BD交AQ于E，过点E作EF⊥PQ于F，EF⊥平面PDQ．
∴∠EDF就是BD与平面PDQ所成的角．…（11分）
由已知得AQ=

2

，PQ=2∴△PAQ为等腰直角三角形．
∴EF=

1

2

，ED=

10

2

∴sin∠EDF=

EF

ED

=

10

10

…（14分）
（注：用向量方法或体积法解答正确给相应的分数）

点评：本题考查直线与直线的垂直，直线与平面的垂直，线段的距离，直线与平面所成的角的求法，考查计算能力，转化思想空间想象能力．