Question

已知等差数列{a_n}满足：a₂+a₄=14，a₆=13，{a_n}的前n项和为S_n．
（Ⅰ）求a_n及S_n；
（Ⅱ）令bn=

1

an2-1

（n∈N₊），数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：

1

8

≤Tn＜

1

4

．

Answer 1

分析：（I）设首项为a₁，公差为d，根据a₂+a₄=14，a₆=13，求出首项与公差，即可求a_n及S_n；
（Ⅱ）确定数列的通项，利用裂项法求出数列的和，即可证得结论．

解答：（I）解：设首项为a₁，公差为d，则
∵a₂+a₄=14，a₆=13，∴

2a1+4d=14 a1+5d=13

∴a₁=3，d=2
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1，S_n=3n+

n(n-1)

2

×2=n²+2n；
（Ⅱ）证明：bn=

1

an2-1

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

）
∴T_n=

1

4

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=

1

4

(1-

1

n+1

)＜

1

4

∵T_n单调递增，∴T_n≥T₁=

1

8

∴

1

8

≤Tn＜

1

4

．

点评：本题考查等差数列的通项与求和，考查裂项法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．