Question

如图，正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直，EF∥BD，AB=

2

EF．
（1）求证：BF∥平面ACE；
（2）求证：BF⊥BD．

Answer 1

分析：（1）利用已知条件证明四边形EFBO是平行四边形，从而利用直线与平面平行的判定定理证明BF∥平面ACE．
（2）首先根据平面与平面垂直的性质定理证明BD⊥平面ACE，从而可得BD⊥EO．再利用EO∥BF，得到BF⊥BD．

解答：证明：（1）设AC与BD的交于O，连结EO，
在正方形ABCD中，

2

BO=AB，∵AB=

2

EF，
∴BO=EF，
又∵EF∥BD，
∴四边形EFBO是平行四边形，
∵BF∥EO，
BF?平面ACE，EO?平面ACE
∴BF∥平面ACE
（2）在正方形ABCD中，AC⊥BD，
又∵正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直，
BD?平面ABCD，
平面ABCD∩平面ACE=AC，
∴BD⊥平面ACE，
∵EO?平面ACE
∴BD⊥EO．
∵EO∥BF，
∴BF⊥BD

点评：本题考查直线与平面平行的判定定理，平面与平面垂直的性质定理的应用．属于中档题．