Question

下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上是单调递减的是（ ）
A．
B．y=e^-x
C．y=-x²+1
D．y=lg|x|

Answer 1

【答案】分析：根据函数是奇函数，得A项不符合题意；根据函数y=e^-x是非奇非偶函数，得B项不符合题意；根据二次函数y=-x²+1的图象是开口向下的抛物线且关于y轴对称，得到C项符合题意；根据对数函数的单调性，得函数y=lg|x|在（0，+∞）上是增函数，可得D项不符合题意．
解答：解：对于A，函数满足f（-x）=-=-f（x），
可得函数是奇函数，且不是偶函数，可得A项不符合题意；
对于B，函数y=e^-x不满足f（-x）=f（x），得函数不是偶函数，可得B项不符合题意；
对于C，函数y=-x²+1满足f（-x）=-（-x）²+1=-x²+1=f（x），
∴函数y=-x²+1是R上的偶函数
又∵函数y=-x²+1的图象是开口向下的抛物线，关于y轴对称
∴当x∈（0，+∞）时，函数为减函数．故C项符合题意
对于D，因为当x∈（0，+∞）时，函数y=lg|x|=lgx，底数10＞1
所以函数y=lg|x|在区间（0，+∞）上是单调递增的函数，可得D项不符合题意．
故选：C
点评：本题给出几个基本初等函数，要我们找出其中的偶函数且在区间（0，+∞）上是单调减的函数，着重考查了基本初等函数的性质和函数单调性与奇偶性等知识，属于基础题．