Question

已知函数f(x)=cos(2x-

π

3

)+sin2x-cos2x．
（I）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（II）设函数g(x)=f(

x

2

)+2，求g（x）在区间[0，π]上的最小值及取得最小值时x的值．

Answer 1

分析：（I）先利用二倍角公式和两角差的正弦公式，将函数f（x）化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，最后利用复合函数单调性结合正弦函数图象求函数的单调区间
（II）先求函数g（x）的解析式，同样化为y=Asin（ωx+φ）的形式，先求内层函数的值域，再结合正弦函数图象求函数的值域即可

解答：解：（I）∵f(x)=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+sin2x-cos2x
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-cos2x
=sin(2x-

π

6

)．
∴函数的最小正周期T=

2π

2

=π．
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
得2kπ-

π

3

≤2x≤2kπ+

2π

3

，k∈Z．
即kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，
∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]k∈Z．
（II）∵g(x)=f(

1

2

x)+2=sin(x-

π

6

)+2
而0≤x≤π，所以-

π

6

≤x-

π

6

≤

5π

6

．
∴当x-

π

6

=-

π

6

，即x=0时，
g（x）取得最小值-

1

2

+2=

3

2

．
∴g（x）在区间[0，π]上的最小值为

3

2

，取得最小值时x的值为0

点评：本题考查了二倍角公式的运用，两角差的正弦公式及其应用，三角函数的图象和性质，复合函数的单调性和值域