Question

（2012•德阳二模）已知AC，BD为圆：x²+y²=4的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，0），则四边形ABCD面积的最大值是（　　）

• A．7
• B．5
• C．2

  3

• D．

  15

  2

Answer 1

分析：由圆的方程找出圆心坐标与半径，设圆心O到AC、BD的距离分别为d₁、d₂，再由M的坐标，根据矩形的性质及勾股定理得到d₁²+d₂²=OM²，由M和O的坐标，利用两点间的距离公式求出OM²，进而得到d₁²+d₂²的值，再由圆的半径，弦心距及弦长的一半，由半径的值表示出|AB|与|CD|的长，又四边形ABCD的两对角线互相垂直，得到其面积为两对角线乘积的一半，表示出四边形的面积，并利用基本不等式变形后，将求出的d₁²+d₂²的值代入，即可得到面积的最大值．

解答：解：∵圆O：x²+y²=4，∴圆心O坐标（0，0），半径r=2，
设圆心O到AC、BD的距离分别为d₁、d₂，
∵M（1，0），∴d₁²+d₂²=OM²=1，
∴四边形ABCD的面积S=

1

2

|AB|•|CD|=2

(4-d   2 1  )(4-d   2 2  )

≤8-（d₁²+d₂²）=7，当且仅当d₁² =d₂²时取等号，
故选A．

点评：本题考查圆中弦长公式的应用以及基本不等式的应用，解题的关键是四边形面积可用互相垂直的两条对角线长度之积的一半来计算．