Question

曲线f（x）=（x-3）e^x，当x∈（2，+∞）时，f（x）＞k恒成立，则实数k的取值范围是________．

Answer 1

（-∞，-e²]
分析：x∈（2，+∞）时，f（x）＞k恒成立，等价于f（x）_min＞k，利用导数判断f（x）的单调性，由单调性即可求得其最小值．
解答：f′（x）=e^x+（x-3）e^x=e^x（x-2），
当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，
所以f（x）在（2，+∞）上单调递增，f（x）＞f（2）=-e²，
因为x∈（2，+∞）时，f（x）＞k恒成立，
所以-e²≥k，即实数k的取值范围是（-∞，-e²]．
故答案为：（-∞，-e²]．
点评：本题考查利用导数研究函数的最值，考查函数恒成立问题，函数恒成立往往转化为函数最值解决，本题需要注意k与最小值的关系，含有等号．