Question

定义在R上的函数f（x）=

1 |x-2| ，x≠2 1 ，x=2

，若关于x的方程f²（x）+af（x）+b=3有三个不同的实数解x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，则下列结论错误的有

③

．（填序号）
①x₁²+x₂²+x₃²=14；    ②a+b=2；   ③x₁+x₃＞2x₂；    ④x₁+x₃=4．

Answer 1

分析：令x=3得到f（3）=1代入到方程中得到a+b=2，则②正确；令x=4得到f（4）=

1

2

代入方程得到a+2b=11与a+b=2联立解得a=-7，b=9，则方程变为f²（x）-7f（x）+9=3即f²（x）-7f（x）+6=0得到f（x）=1或f（x）=6，则有一个解为2，另一解为

13

6

，第三解为

11

6

，则①，④正确；③错误．

解答：解：令x=4，得：f（4）=

1

2

，
代入方程得到a+2b=11；
令x=3得到f（3）=1代入到方程中得到a+b=2．所以②正确；
求出a=-7，b=9，则代入到关于x的方程f²（x）+af（x）+b=3得：
f²（x）-7f（x）+6=0
解得：f（x）=1或f（x）=6，
则三个解分别为

11

6

，2，

13

6

．
∴①，④正确，③错误．
故答案③．

点评：本题考查了函数与方程的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，合理地进行等价转化．