Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB，PA⊥PB，AB⊥BC，∠BAC=30°，平面PAB⊥平面ABC．
（1）求证：PA⊥平面PBC；
（2）求二面角P-AC--B的一个三角函数值．

Answer 1

分析：（1）证明PA⊥平面PBC，只需证明PA⊥BC，PA⊥PB，利用平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，且BC⊥AB，可得BC⊥平面PAB，结论可证；
（2）作PO⊥AB于点O，OM⊥AC于点M，连接PM，可证∠PMO是二面角P-AC-B的平面角，从而可求二面角P-AC--B的一个三角函数值．

解答：（1）证明：∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，且BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，
∵PA?平面PAB，∴PA⊥BC；
又∵PA⊥PB，PB∩BC=B
∴PA⊥平面PBC．…..4
（2）解：作PO⊥AB于点O，OM⊥AC于点M，连接PM，
∵平面PAB⊥平面ABC，∴PO⊥平面ABC，由三垂线定理得PM⊥AC，∴∠PMO是二面角P-AC-B的平面角．
设PA=PB=

6

，
∵PA⊥PB，∴AB=2

3

，PO=BO=AO=

3

∵OM⊥AM，∠MAO=30°，∴OM=AOsin300=

AO

2

，
∴tan∠PMO=

PO

OM

=

AO

OM

=2．…12

点评：本题考查线面垂直，考查面面垂直的性质，考查面面角，解题的关键是掌握线面垂直的判断，正确作出面面角，属于中档题．