Question

在锐角△ABC中，A、B、C三内角所对的边分别为a、b、c，cos2A=-

1

2

，a=

7

，b=3．
（1）求c；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析：由三角形为锐角三角形，得到A的范围，进而确定出2A的范围，由cos2A的值，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，
（1）由A的度数求出cosA的值，再由a与b的值，利用余弦定理列出关于c的方程，求出方程的解得到c的值，然后利用余弦定理表示出cosB，将三边长代入求出cosB的值，根据B为锐角，经过判断可得到满足题意的c的值；
（2）由A的度数求出sinA的值，再由b与c的值，利用三角形的面积公式S=

1

2

bcsinA即可求出三角形ABC的面积．

解答：解：∵△ABC为锐角三角形，∴0＜A＜

π

2

，
∴0＜2A＜π，又cos2A=-

1

2

，
∴2A=

2π

3

，即A=

π

3

，
（1）∵a=

7

，b=3，cosA=

1

2

，
∴由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA得：c²-3c+2=0，
解得：c=1或c=2，
若c=1，则有cosB=

a2+c2-b2

2ac

=-

1

2 7

＜0，与B为锐角矛盾，
∴c=1舍去，即c=2；
（2）∵A=

π

3

，b=3，c=2，
∴△ABC的面积S=

1

2

bcsinA=

1

2

×3×2×

3

2

=

3 3

2

．

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：余弦定理，三角形的面积公式，余弦函数的图象与性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．