Question

【题目】已知函数，，其中．

（1）设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同，用表示，并求的最大值；

（2）设，证明：若≥1，则对任意， ，，有

Answer 1

【答案】（1），最大值为（2）见解析

【解析】分析：（1）设f（x）与g（x）的图象交于点P（x0，y0）（x0＞0），则有f（x0）=g（x0），求出导数，由斜率相等，求得切点的横坐标，可得b的解析式，求出导数，单调区间，可得最大值；

（2）不妨设x1，x2∈（0，+∞），x1＜x2，原不等式变形得h（x2）﹣14x2＞h（x1）﹣14x1，构造函数T（x）=h（x）﹣14x，求出导数，判断单调性，即可得到结论．同理可证，当x1＞x2时，命题也成立．

详解：（1）设的图象交于点，则有，

即 ①

又由题意知，即 ②

由②解得

将代入（1）整理得

令，则

当时，单调递增，当时单调递减，

所以，即，的最大值为

（2）证明：不妨设，

变形得

令，，

，

所以 在上单调递增，，

即成立

同理可证,当时,命题也成立

综上, 对任意，，，不等式成立.