Question

已知函数f(x)=

1

3

x3+ax2-bx+1，(a，b∈R)在区间[-1，3]上是减函数，则b的最小值是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：求出f′（x），因为函数在区间[-1，3]上是减函数得到f（-1）和f（3）都≤0，分别列出关于a与b的两个不等式，联立即可得到u=2a+b≥1，v=b-6a≥9，而b=

3

4

（2a+b）+

1

4

（-6a+b），由不等式的性质可得范围．

解答：解：求导数可得f′（x）=x²+2ax-b，
函数f（x）在区间[-1，3]上是减函数即在区间[-1，3]上，f′（x）≤0，
得到f′（-1）≤0，且f′（3）≤0，代入得1-2a-b≤0①，且9+6a-b≤0②，
由①得2a+b≥1③，由②得b-6a≥9④，
设u=2a+b≥1，v=b-6a≥9，
设b=mu+nv=m（2a+b）+n（-6a+b）
=（2m-6n）a+（m+n）b，
对照系数得：2m-6n=0，m+n=1，解得：m=

3

4

，n=

1

4

故b=

3

4

（2a+b）+

1

4

（-6a+b）≥

3

4

×1+

1

4

×9=3
故选C

点评：本题考查学生利用导数研究函数的单调性，灵活运用不等式的范围求未知数的最值，属中档题．