Question

（本小题满分14分）设函数（a、b、c、d∈R）图象关于原点对称，且x=1时，取极小值．

       （Ⅰ）求函数的解析式；

       （Ⅱ）若对任意的，恒有成立，求的取值范围；

       （Ⅲ）当时，函数图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论；

       （IV）设表示的曲线为G，过点作曲线G的切线，求的方程．

Answer 1

（Ⅰ）   （Ⅱ）      （IV）

解析:

（Ⅰ）∵对任意实数，

       ∴，

    即恒成立，，     ，

       时，取极小值，解得，       ∴所求的函数解析式即为；                            ……4分

       （Ⅱ）由已知，，     ∴在区间上的最小值为，

       依题意恒成立，∴，

       解得即为所求的范围；                                                      …………7分

       （Ⅲ）假设图象上存在两点、，使得过此两点处的切线互相垂直，

       则由知两点处的切线斜率分别，

       且，、，，矛盾，故假设不成立，

       ∴当时，图象上不存在这样的两点使结论成立；                …………10分

       （IV）设切点为P，切线方程则为，

       且，消去得，

       ∴，∴，，

       即切点为（3，6），∴所求的切线方程为；  …………14分