Question

已知函数f(x)=

1-x，(-2＜x＜1) x2-1，(x≤-2或x≥1)

，若实数x，y满足f（x）≤y≤x+2，则2x+y的取值范围为（　　）

• A．[

  1

  2

  ，1]
• B．[

  1

  2

  ，

  7+3 13

  2

  ]
• C．[

  1

  2

  ，8]
• D．[

  1

  2

  ，+∞)

Answer 1

分析：根据题意，由f（x）≤y≤x+2可得f（x）≤x+2，由于f（x）为分段函数，则f（x）≤x+2可转化为

1-x≤x+2 -2＜x＜1

或

x2-1≤x+2 x≤-2或x≥1

，解可得x的取值范围，再结合f（x）≤y≤x+2，可得2x+f（x）≤2x+y≤3x+2，分析可得2x+y应大于等于2x+f（x）的最小值，而小于等于3x+2的最大值，令g（x）=2x+f（x）、h（x）=3x+2，结合函数的单调性可得g（x）_min与
h（x）_max，即可得2x+y的范围．

解答：解：根据题意，由f（x）≤y≤x+2可得f（x）≤x+2，
即有

1-x≤x+2 -2＜x＜1

或

x2-1≤x+2 x≤-2或x≥1

，
解可得-

1

2

≤x≤

1+ 13

2

，
又由f（x）≤y≤x+2，则2x+f（x）≤2x+y≤3x+2，
令g（x）=2x+f（x），则g（x）=

x+1，(- 1 2 ≤x＜1) x2+2x-1，(x≥1)

，分析可得，g（x）_min=g（-

1

2

）=

1

2

，
令h（x）=3x+2，（-

1

2

≤x≤

1+ 13

2

），分析可得，h（x）_max=h（

1+ 13

2

）=

7+3 13

2

，
则2x+y的取值范围为[

1

2

，

7+3 13

2

]，
故选B．

点评：本题考查分段函数的应用，关键是根据题意中f（x）≤y≤x+2，得到关于x的不等式，求出x的范围．