Question

5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若acos²$\frac{C}{2}$+ccos²$\frac{A}{2}$=$\frac{3b}{2}$．
（1）求证：a+c=2b；
（2）求∠B的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据二倍角的余弦公式、余弦定理化简已知的式子，即可得到结论：a+c=2b；
（2）根据（1）的结论和余弦定理求出cosB的代数式，利用重要不等式、内角的范围、余弦函数的性质求出∠B的取值范围．

解答 证明：（1）由题意得，acos²$\frac{C}{2}$+ccos²$\frac{A}{2}$=$\frac{3b}{2}$，
则a$•\frac{1}{2}$（1+cosC）+c$•\frac{1}{2}$（1+cosA）=$\frac{3b}{2}$，
由余弦定理得，a$•\frac{1}{2}$（1+$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$）+c$•\frac{1}{2}$（1+$\frac{{c}^{2}+{b}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$）=$\frac{3b}{2}$，
则a+$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2b}$+c+$\frac{{c}^{2}+{b}^{2}-{a}^{2}}{2b}$=3b，
所以2ab+2bc=4b²，
则a+c=2b；
（2）由（1）得，a+c=2b，则b=$\frac{a+c}{2}$，
所以cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{（\frac{a+c}{2}）}^{2}}{2ac}$
=$\frac{{3a}^{2}+3{c}^{2}-2ac}{8ac}$≥$\frac{6ac-2ac}{8ac}$=$\frac{1}{2}$（当且仅当a=c时取等号），
因为0＜B＜π，所以0＜B≤$\frac{π}{3}$，
所以∠B的取值范围是（0，$\frac{π}{3}$]．

点评 本题考查余弦定理，二倍角的余弦公式，余弦函数的性质，以及重要不等式求最值的应用，属于中档题．