题目内容
【选修4-5：不等式选讲】
已知a＞0，b＞0，a+b=1，求证：
+
≥
．
已知a＞0，b＞0，a+b=1，求证：
| 1 |
| 2a+1 |
| 4 |
| 2b+1 |
| 9 |
| 4 |
分析：根据（2a+1）+（2b+1）=4，2a+1＞0，2b+1＞0则
+
=
[（2a+1）+（2b+1）]×（
+
），然后利用基本不等式可证明不等式．
| 1 |
| 2a+1 |
| 4 |
| 2b+1 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2a+1 |
| 4 |
| 2b+1 |
解答：解：∵a＞0，b＞0，a+b=1，
∴（2a+1）+（2b+1）=4，2a+1＞0，2b+1＞0
则
+
=
[（2a+1）+（2b+1）]×（
+
）
=
[1+4+
+
]
≥
（5+2
）=
当且仅当
=
，且a+b=1即a=
，b=
时取等号
∴
+
≥
．
∴（2a+1）+（2b+1）=4，2a+1＞0，2b+1＞0
则
| 1 |
| 2a+1 |
| 4 |
| 2b+1 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2a+1 |
| 4 |
| 2b+1 |
=
| 1 |
| 4 |
| 2b+1 |
| 2a+1 |
| 4(2a+1) |
| 2b+1 |
≥
| 1 |
| 4 |
|
| 9 |
| 4 |
当且仅当
| 2b+1 |
| 2a+1 |
| 4(2a+1) |
| 2b+1 |
| 1 |
| 6 |
| 5 |
| 6 |
∴
| 1 |
| 2a+1 |
| 4 |
| 2b+1 |
| 9 |
| 4 |
点评：本题主要考查了不等式的证明，以及基本不等式的应用，解题的关键
[（2a+1）+（2b+1）]=1的运用，属于中档题．
| 1 |
| 4 |
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