Question

已知f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，对任意m＞0，n＞0，都有f（m﹒n）=f（m）+f（n）-2，且当x＞1时，f（x）＞2，设f（x）在[

1

10

，10]上的最大值为P，最小值为Q，则P+Q=

4

．

Answer 1

分析：令n=1证出f（1）=2，从而得到f（m）+f（

1

m

）=4，由此根据函数单调性的定义，结合当x＞1时f（x）＞2证出f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数．从而得到f（x）在[

1

10

，10]上的最大、最小值分别为f（

1

10

）和f（10），由此结合f（m）+f（

1

m

）=4即可得到P+Q的值．

解答：解：令n=1，得f（m﹒1）=f（m）+f（1）-2
∴f（m）=f（m）+f（1）-2，可得f（1）=2
令n=

1

m

，得f（1）=f（m•

1

m

）=f（m）+f（

1

m

）-2=2，
∴f（m）+f（

1

m

）=4，…（*）
可得f（

1

m

）=4-f（m）
当0＜x₁＜x₂时，

x2

x1

＞1
∴f（

x2

x1

）=f（x₂•

1

x1

）=f（x₂）+f（

1

x1

）-2＞2
∵f（

1

x1

）=4-f（x₁）
∴代入上式，可得f（x₂）+（4-f（x₁））-2＞2，得f（x₂）-f（x₁）＞0
因此f（x₁）＜f（x₂），可得f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数
∴f（x）在[

1

10

，10]上的最大值为P=f（

1

10

），最小值为Q=f（10）
由（*）得f（

1

10

）+f（10）=4，可得P+Q=4

点评：本题给出抽象函数，求f（x）在[

1

10

，10]上的最大、最小值的和．着重考查了函数单调性的证明、用赋值法求抽象函数的值等知识，属于中档题．