Question

如图，的外心为，是的中点，直线交于，点分别是的外心与内心，若，

证明：为直角三角形.

 

Answer 1

证：由于点皆在的中垂线上，设直线交于，交于，则是的中点，是的中点; 因是的内心，故共线，且.

又 是的中垂线，则，而为的内、外角平分线，故有，则为的直径，所以，，又因

，

则. 作于，则有，

，且，所以，，故得 ，因此，是的中位线，从而 ∥，而，则.故为直角三角形．

证二：记，因是的中垂线，则，由条件 1

延长交于，并记，则，对圆内接四边形用托勒密定理得，即2，由1、2得，所以，

即是弦的中点，而为外心，所以，故为直角三角形．