Question

设椭圆C：

x2

25

+

y2

9

=1，F是右焦点，l是过点F的一条直线（不与y轴平行），交椭圆于A、B两点，l′是AB的中垂线，交椭圆的长轴于一点D，则

DF

AB

的值是

2

5

．

Answer 1

分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（m，0），AB 的中点M（x₀，y₀），直线l的斜率为k，则l′的斜率为-

1

k

，由k=

y2-y1

x2-x1

及中点坐标公式，利用点差可得k=-

9x0

25y0

，由-

1

k

=

y0

x0-m

及-

9x0

25y0

•

y0

x0-m

=-1可求m=

16x0

25

由椭圆的第二定义可知，|AB|=|AF|+|BF|=

4

5

(

25

4

-x1+

25

4

-x2)=10-

8x0

5

代入可求

解答：解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（m，0），AB 的中点M（x₀，y₀），直线l的斜率为k，则l′的斜率为-

1

k

则x₁+x₂=2x₀，y₁+y₂=2y₀，k=

y2-y1

x2-x1

由题意可得

x12 25 + y12 9 =1 x22 25 + y22 9 =1

，两式相减可得

(x1-x2)(x1+x2)

25

+

(y1-y2)(y1+y2)

9

=0
整理可得，k=-

9x0

25y0

又∵-

1

k

=

y0

x0-m

∴-

9x0

25y0

•

y0

x0-m

=-1
∴m=

16x0

25

，|DF|=|4-

16x0

25

|
∵e=

4

5

，右准线x=

25

4

，过A，B分别向右准线作垂线，垂足分别为E，G
由椭圆的第二定义可知，|AB|=|AF|+|BF|=

4

5

(|AE|+|BG||=

4

5

(

25

4

-x1+

25

4

-x2)
=10-

8x0

5

|DF|

|AB|

=|

4- 16x0 25

10- 8x0 5

|=|

100-16x0

250-40x0

|=|

2(50-8x0)

5(50-8x0)

|=

2

5

故答案为

2

5

点评：本题主要考查了直线与椭圆的相交关系的应用，椭圆的第二定义的应用点差法的应用是解答本题的关键