Question

已知函数f（x）=ln（x²+ax+1）的定义域为R，函数g（x）=ln（x²+x+a）的值域为R，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：根据函数f（x）=ln（x²+ax+1）的定义域为R，可得x²+ax+1＞0恒成立，故有△=a²-12a＜0，由此解得实数a的取值范围，再根据函数g（x）=ln（x²+x+a）的值域为R，可得函数t=x²+x+a能取遍所有的正数，故有△=a²-12a≥0，由此解得a的范围，最后取两个范围的交集，从而得到实数a的取值范围．

解答：解：∵函数f（x）=ln（x²+ax+1）的定义域为R，
∴x²+ax+1＞0对x∈R恒成立，
∴△₁=a²-4＜0，解得-2＜a＜2，
∴实数a的取值范围为（-2，2），
∵函数g（x）=ln（x²+x+a）的值域为R，
∴函数t=x²+x+a能取遍所有的正数，
∴△₂=1-4a≥0，解得a≤

1

4

，
∴实数a的范围是（-∞，

1

4

]，
综上所述，实数a的范围是（-2，

1

4

]．
故答案为：（-2，

1

4

]．

点评：本题考查了对数函数的性质，函数的恒成立问题．对于函数的恒成立问题，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法进行求解．对于对数函数，如果底数a的值不确定范围，则需要对底数a进行分类讨论，便于研究对数函数的图象和性质．属于中档题．