Question

【题目】已知点F是抛物线的焦点，若点在抛物线C上，且

（1）求抛物线C的方程；

（2）动直线与抛物线C相交于两点，问：在x轴上是否存在定点（其中），使得x轴平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，

【解析】

（1）根据焦半径公式即可求出点的横坐标，再根据点在抛物线C上，即可解出，进而得出抛物线C的方程；

（2）假设在x轴上假设存在定点，设直线DA、DB的斜率分别为，，根据题意可知，．再联立直线方程和抛物线方程，由根与系数的关系，得到，，代入，即可判断是否存在满足题意的值．

抛物线的焦点为，准线方程为，

即有，即，则，解得，则；

在x轴上假设存在定点（其中），因为x轴平分，

设，，联立和，得，

恒成立． ，……

设直线DA、DB的斜率分别为，，则由得，

，

∴……

联立，得，故存在满足题意．

综上，在x轴上存在一点，使得x轴平分．