Question

（1）已知双曲线C₁与椭圆C₂：

x2

36

+

y2

49

=1有公共的焦点，并且双曲线的离心率e₁与椭圆的离心率e₂之比为

7

3

，求双曲线C₁的方程．
（2）以抛物线y²=8x上的点M与定点A（6，0）为端点的线段MA的中点为P，求P点的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）根据椭圆C₂：

x2

36

+

y2

49

=1的焦点坐标为（0，±

13

），椭圆C₂离心率，可求C₁的焦点坐标与离心率e₁与椭圆的离心率，进而利用待定系数法可求双曲线的方程；
（2）设点M（x₀，y₀），P（x，y），根据线段MA的中点为P，确定动点坐标之间的关系，从而可得点P的轨迹方程．

解答：解：（1）椭圆C₂：

x2

36

+

y2

49

=1的焦点坐标为（0，±

13

），∴C₁的焦点坐标为（0，±

13

）
椭圆C₂离心率e₂=

13

7

，双曲线的离心率e₁与椭圆的离心率e₂之比为

7

3

，∴e1=

13

3

设双曲线的方程为

y2

a2

-

x2

b2

=1(a，b＞0)，则

a2+b2=13 a2+b2 a2 = 13 9

，解得a²=9，b²=4
∴双曲线的方程为

y2

9

-

x2

4

=1
（2）设点M（x₀，y₀），P（x，y），则

x= x0+6 2 y= y0 2

，∴

x0=2x-6 y0=2y

．
代入

y

2 0

=8x0得：y²=4x-12，即为点P的轨迹方程．

点评：本题考查双曲线的标准方程，考查代入法求轨迹方程，考查椭圆与双曲线的几何性质，掌握求轨迹方程的方法是关键．