题目内容
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD 为矩形，AB=8，AD=4| 3 |
（Ⅰ）求二面角A-PB-C的大小；
（Ⅱ）计算点A到面PBC的距离．
分析：（Ⅰ）取AD的中点E，过E作AB的平行线交BC于F，再过P作PO垂直于面ABCD，以O为原点，过O平行于EA的直线为x轴，OF所在直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．从而可用坐标表示点，进而可得向量
，
，
，
的坐标，分别求出平面PAB的法向量
，平面PBC的法向量
，利用向量的夹角θ的余弦cosθ=
，可求二面角A-PB-C的大小．
（Ⅱ）利用点A到平面PBC的距离d=
求解即可．
| AB |
| PA |
| CB |
| PB |
的坐标，分别求出平面PAB的法向量
| n1 |
| n2 |
| ||||
|
|
（Ⅱ）利用点A到平面PBC的距离d=
| ||||
|
|
解答：
解：（Ⅰ）取AD的中点E，过E作AB的平行线交BC于F，再过P作PO垂直于面ABCD，易知PO交EF于O，则以O为原点，过O平行于EA的直线为x轴，OF所在直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．由已知AE=2
，PE=6，∠PEO=60°，得PO=3
，OE=3
∴A(2
，-3，0)，B(2
，5，0)，C(-2
，5，0)，P(0，0，3
)
∴
=(0，8，0)，
=(2
，-3，-3
)，
=(4
，0，0)，
=(2
，5，-3
)
设平面PAB的法向量为
=(x，y，z)，则有
，即
令z=1，得
=(
，0，1)
设面PBC的法向量为
=（m，n，1），则有
，即
∴
=(0，
，1)
∴
，
的夹角θ的余弦cosθ=
=
则根据图形可知，所求二面角A-PB-C为钝二面角，故大小为π-arccos
．
（Ⅱ）点A到平面PBC的距离d=
=
解：（Ⅰ）取AD的中点E，过E作AB的平行线交BC于F，再过P作PO垂直于面ABCD，易知PO交EF于O，则以O为原点，过O平行于EA的直线为x轴，OF所在直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．由已知AE=2| 3 |
| 3 |
∴A(2
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
∴
| AB |
| PA |
| 3 |
| 3 |
| CB |
| 3 |
| PB |
| 3 |
| 3 |
设平面PAB的法向量为
| n1 |
|
|
令z=1，得
| n1 |
| 3 |
| 2 |
设面PBC的法向量为
| n2 |
|
|
∴
| n2 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
∴
| n1 |
| n2 |
| ||||
|
|
| 5 |
| 13 |
则根据图形可知，所求二面角A-PB-C为钝二面角，故大小为π-arccos
| 5 |
| 13 |
（Ⅱ）点A到平面PBC的距离d=
| ||||
|
|
12
| ||
| 13 |
点评：本题以四棱锥为载体，考查面面角，考查点面距离，构建空间直角坐标系，利用向量的夹角公式，点面距离公式求解时解题的关键
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