题目内容
（本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系
中，椭圆
的焦距为2，且过点
.
求椭圆
的方程；
若点
，
分别是椭圆的左、右顶点，直线
经过点且垂直于
轴，点
是椭圆上异于，的任意一点，直线
交于点
（ⅰ）设直线
的斜率为
直线
的斜率为
，求证：
为定值；
（ⅱ）设过点
垂直于
的直线为
.求证：直线过定点，并求出定点的坐标.
【答案】
（1）见解析 （2）
【解析】
试题分析：⑴由题意得
，所以
，又
，
消去
可得，
，解得
或
（舍去），则
，
所以椭圆
的方程为
．
⑵（ⅰ）设
，
，则
，
，
因为
三点共线，所以
，所以，
，8分
因为
在椭圆上，所以
，故
为定值．10分
（ⅱ）直线
的斜率为，直线
的斜率为
,
则直线的方程为
，
=
=
，
所以直线过定点．
考点：直线的斜率；恒过定点的直线；直线与椭圆的位置关系
点评：本题考查转化的技巧，（1）将两斜率之积为定值的问题转化成了两根之积来求，（2）中将求两动点的连线过定点的问题转化成了求直线系过定点的问题，转化巧妙，有艺术性．
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