Question

已知抛物线y²=4x的焦点F与椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为T，且TF与x轴垂直，则椭圆的离心率为（　　）

• A．

  3

  -

  2

• B．

  2

  -1
• C．

  1

  2

• D．

  2

  2

Answer 1

分析：由抛物线的方程算出抛物线的焦点为F（1，0），由TF⊥x轴算出点T坐标为（1，2），得到椭圆的半焦距c=1且点T（1，2）在椭圆上，由此建立关于a、b的方程组解出a=

2

+1，由椭圆的离心率加以计算，可得答案．

解答：解：∵抛物线的方程为y²=4x，∴抛物线的焦点为F（1，0），
又∵抛物线与椭圆在第一象限内的交点为T，且TF⊥x轴，
∴设T（1，y₀），代入抛物线方程得y₀²=4×1=4，得y₀=2（舍负）．
因此点T（1，2）在椭圆上，椭圆的半焦距c=1，
∴

12 a2 + 22 b2 =1 a2-b2 =1

，解之得a²=3+2

2

，b²=2+2

2

，
由此可得a=

3+2 2

=

2

+1，椭圆的离心率e=

c

a

=

1

2 +1

=

2

-1．
故选：B

点评：本题给出抛物线的焦点F是椭圆的右焦点，它们在第一象限的交点在x轴上的射影恰好为点F，求椭圆的离心率．着重考查了椭圆、抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．