Question

设椭圆C₁的离心率为

5

13

，焦点在x轴上且长轴长为26．若曲线C₂上的点到椭圆C₁的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，求曲线C₂的标准方程．

Answer 1

分析：由题意先求出椭圆C₁的a和c，由条件和双曲线的定义判断出，曲线C₂是以（-5，0）和（5，0）为焦点的双曲线，并求出a和c，再由a、b、c的关系求出b的平方对应的值，代入标准方程．

解答：解：∵焦点在x轴上且长轴长为26，∴a=13，
∵椭圆C₁的离心率为e=

c

a

=

5

13

，∴c=5，
∵曲线C₂上的点到椭圆C₁的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，
∴曲线C₂是以（-5，0）和（5，0）为焦点的双曲线，且a=4，c=5，
则b²=c²-a²=9，
∴曲线C₂的标准方程是

x2

16

-

y2

9

=1．

点评：本题椭圆和双曲线的定义，以及基本量的计算，属于基础题．