Question

已知函数f（x）=e^2x-2tx，g(x)=-x2+2tex-2t2+

1

2

．
（1）求f（x）在区间[0，+∞）的最小值；
（2）求证：若t=1，则不等式g（x）≥

1

2

对于任意的x∈[0，+∞）恒成立；
（3）求证：若t∈R，则不等式f（x）≥g（x）对于任意的x∈R恒成立．

Answer 1

分析：（1）求出函数f（x）的导数，因为e⁰=1，所以根据参数t是否大于1来讨论函数f（x）在区间[0，+∞）上的单调性，从而得到函数f（x）在区间[0，+∞）上的最小值；
（2）求函数g（x）的导数g'（x），得出函数g'（x）在区间[0，+∞）上是增函数，从而g'（x）≥g'（0）=2＞0，根据g'（x）恒正得出函数g（x）在区间[0，+∞）上为增函数，从而g（x）≥g（0）=

1

2

；
（3）构造函数h（x）=f（x）-g（x），再将所得函数h（x）进行配方，得到恒比h（x）小的一个函数，再通过讨论这个函数的最小值为非负，从而得出h（x）≥0，命题得理证．

解答：解：（1）f'（x）=2e^2x-2t=2（e^2x-t）
①若t≤1
∵x≥0，则e^2x≥1，∴e^2x-t≥0，即f'（x）≥0．
∴f（x）在区间[0，+∞）是增函数，故f（x）在区间[0，+∞）的最小值是f（0）=1
②若t＞1
令f'（x）=0，得x=

1

2

lnt．
又当x∈[0， 

1

2

lnt)时，f'（x）＜0；当x∈(

1

2

lnt， +∞)时，f'（x）＞0，
∴f（x）在区间[0，+∞）的最小值是f(

1

2

lnt)=t-tlnt
（2）证明：当t=1时，g(x)=-x2+2ex-

3

2

，则g'（x）=-2x+2e^x=2（e^x-x），
∴[g'（x）]'=2（e^x-1），
当x∈[0，+∞）时，有[g'（x）]'≥0，∴g'（x）在[0，+∞）内是增函数，
∴g'（x）≥g'（0）=2＞0，
∴g（x）在[0，+∞）内是增函数，
∴对于任意的x∈[0，+∞），g(x)≥g(0)=

1

2

恒成立
（3）证明：f(x)-g(x)=e2x-2tx+x2-2tex+2t2-

1

2

=2t2-2(x+ex)t+(e2x+x2-

1

2

)，
令h(t)=2t2-2(x+ex)t+(e2x+x2-

1

2

)=2(t-

x+ex

2

)2+

e2z-2xex+x2-1

2

则当t∈R时，h（t）≥

e2x-2xex+x2-1

2

=

(ex-x)2-1

2

，
令F（x）=e^x-x，则F'（x）=e^x-1，
当x=0时，F'（x）=0；当x＞0时，F'（x）＞0；当x＜0时，F'（x）＜0，
则F（x）=e^x-x在（-∞，0]是减函数，在（0，+∞）是增函数，
∴F（x）=e^x-x≥F（0）=1，
∴

(ex-x)2-1

2

≥0，
∴h（t）≥0，即不等式f（x）≥g（x）对于任意的x∈R恒成立

点评：利用导数工具讨论函数的单调性，是求函数的值域和最值的常用方法，考查了分类讨论的思想与转化的思想．解决本题同时应注意研究导函数的单调性得出导数的正负，从而得出原函数的单调性的技巧．