Question

如图，平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，G是线段EF的中点，且B点在平面AGC内的射影在CG上．
（Ⅰ）求证：AG⊥平面BGC；
（Ⅱ）求二面角B-AC-G的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设B点在平面AGC内的射影为H，则H在CG上，由BH⊥平面AGC，知BH⊥AG，BC⊥AB，又平面ABCD⊥平面ABEF，则BC⊥平面ABEF，又AG?平面ABEF，BC⊥AG，又BH、BC?平面BGC，根据线面垂直的判定定理可知AG⊥平面BGC；
（Ⅱ）过G作GM⊥AB于M，过M作MN⊥AC于N，连NG，根据平面ABCD⊥平面ABEF，GM⊥AB，则GM⊥平面ABCD，又MN⊥AC，所以NG⊥AC，
从而∠GNM就是二面角B-AC-G的平面角，在平面ABEF内，由ABEF是矩形，G是EF的中点，GM⊥AB，可得M是AB的中点，AG⊥平面BGC，则AG⊥GB，AB=2GM=2AF，设AF=a，则AB=2a，又MN=

2

2

AM，可求出tan∠GNM，从而得到结论．

解答：解：（Ⅰ）设B点在平面AGC内的射影为H，则H在CG上，由BH⊥平面AGC，知BH⊥AG，∵ABCD为正方形，∴BC⊥AB，又平面ABCD⊥平面ABEF，
∴BC⊥平面ABEF，又AG?平面ABEF，
∴BC⊥AG，又BH、BC?平面BGC，
∴AG⊥平面BGC；
（Ⅱ）过G作GM⊥AB于M，过M作MN⊥AC于N，连NG，
∵平面ABCD⊥平面ABEF，GM⊥AB，∴GM⊥平面ABCD，又MN⊥AC，
∴NG⊥AC，
∴∠GNM就是二面角B-AC-G的平面角，在平面ABEF内，由ABEF是矩形，G是EF的中点，GM⊥AB，可得M是AB的中点，
又∵AG⊥平面BGC，∴AG⊥GB，
∴AB=2GM=2AF，设AF=a，则AB=2a，又MN=

2

2

AM，
∴tan∠GNM=

a

2 2 a

=

2

，∴∠GNM=arctan

2

，
∴二面角B-AC-G的大小为arctan

2

．

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及平面与平面垂直的性质和二面角的度量，同时考查了化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力，属于中档题．