题目内容

已知有限数列A：a₁，a₂，…，a_n，S_n为其前n项和，定义 $数学公式$ 为 A的“凯森和”；如有99项的数列{a₁，a₂，…，a₉₉}的“凯森和”为 1000，则有100项的数列{2，a₁，a₂，…，a₉₉}的“凯森和”为

A.
991
B.
992
C.
999
D.
1001

B
分析：由题意可知S₁+S₂+…+S_n=na₁+（n-1）a₂+…+（n-2）a₃+2a_n-1+a_n，由此入手，能够求出数列列2，a₁，a₂，…，a₉₉的“凯森和”，即得答案．
解答：∵S₁=a₁，S_n=a₁+a₂+…+a_n
∴S₁+S₂+…+S_n=a₁+（a₁+a₂）+（a₁+a₂+a₃）+…+（a₁+a₂+…+a_n）
=na₁+（n-1）a₂+…+（n-2）a₃+2a_n-1+a_n
由于数列a₁，a₂，…，a₉₉的凯森和为1000
∴ $\text{[math]}$
∴S₁+S₂+…+S₉₉=99a₁+98a₂+…+2a₉₈+a₉₉=99000
对于数列2，a₁，a₂，…，a₉₉
由于S₁+S₂+…+S₁₀₀=200+99a₁+98a₂+…+2a₉₈+a₉₉=200+99000=99200
∴ $\text{[math]}$ =992
所以数列2、a₁、a₂、a₃、…、a₉₉的“凯森和”T=992．
故选B
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题．仔细求解，避免出错．

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A．991
B．992
C．999
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（Ⅰ）若数列A：0，1，1，3，0，0，试写出数列A₅；若数列A₄：4，0，0，0，0，试写出数列A；
（Ⅱ）证明存在数列A，经过有限次T变换，可将数列A变为数列

；
（Ⅲ）若数列A经过有限次T变换，可变为数列

．设S_m=a_m+a_m+1+…+a_n，m=1，2，…，n，求证

表示不超过

的最大整数．