Question

已知函数f(x)=+x+(a-1)lnx+15a，其中a＜0，且a≠-1，
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；
(Ⅱ)设函数g(x)=(e是自然对数的底数)，是否存在a，使g(x)在[a，-a]上为减函数？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：(Ⅰ)f(x)的定义域为(0，+∞)，
，
(1)若-1＜a＜0，则当0＜x＜-a时，f′(x)＞0；当-a＜x＜1时，f′(x)＜0；当x＞1时，f′(x)＞0，
故f(x)分别在(0，-a)，(1，+∞)上单调递增，在(-a，1)上单调递减；
(2)若a＜-1，仿(1)可得f(x)分别在(0，1)，(-a，+∞)上单调递增，在(1，-a)上单调递减；
(Ⅱ)存在a，使g(x)在[a，-a]上为减函数；
事实上，设(x∈R)，
则，
再设(x∈R)，
则当g(x)在[a，-a]上单调递减时，h(x)必在[a，0]上单调递减，所以h′(a)≤0．
由于e^x＞0，因此m(a)≤0，而m(a)=a²(a+2)，所以a≤-2．
此时，显然有g(x)在[a，-a]上为减函数，当且仅当f(x)在[1，-a]上为减函数，h(x)在[a，1]上为减函数，且h(1)≥e·f(1)，
由(Ⅰ)知，当a≤-2时，f(x)在[1，-a]上为减函数，①
又h(1)≥e·f(1)4a²+13a+3≤0-3≤a≤，②
不难知道，，h′(x)≤0，m(x)≤0．
因m′(x)=-6x²+6(a-2)x+12a=-6(x+2)(x-a)，
令m′(x)=0，则x=a，或x= -2，
而a≤-2，于是
(1)当a＜-2时，若a＜x＜-2，则m′(x)＞0；若-2＜x＜1，则m′(x)＜0，
因而m(x)在(a，-2)上单调递增，在(-2，1)上单调递减；
(2)当a=-2时，m′(x)≤0，m(x)在(-2，1)上单调递减；
综合(1)，(2)知，当a≤-2时，m(x)在[a，1]上的最大值为m(-2)=-4a²-12a-8．
所以，③
又对x∈[a，1]，m(x)=0只有当a=-2时在x=-2取得，亦即h′(x)=0只有当a=-2时在x=-2取得．
因此，当a≤-2时，h(x)在[a，1]上为减函数，
从而由①，②，③知，-3≤a≤-2；
综上所述，存在a，使g(x)在[a，-a]上为减函数，且a的取值范围为[-3，-2]．