Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点为F，上下顶点分别为A，B，直线BF交椭圆于C点，且

BF

=3

FC

．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若P点是椭圆上弧AC上动点，四边形APCB面积的最小值为

6 +2

3

，求椭圆的方程．

Answer 1

分析：（1）设点F（c，0），B（0，-b），C（x，y）由

BF

=3

FC

，可求得C（

4

3

c，

b

3

）代入椭圆方程得：

16c2

9a2

+

1

9

=1，从而可求得椭圆的离心率；
（2）设点P（x，y），点P到直线AC距离为d=

|x+2y-2b|

5

，可求得（x+2y）²=x²+4y²+4xy≤x²+4y²+2（x²+y²）=3（x²+2y²）=6b²，从而可得d_max=

6 -2

5

b，由S_max=

6 +2

3

b2=

6 +2

3

，可求得b²=1，从而可求得椭圆方程．

解答：解：（1）设点F（c，0），B（0，-b），C（x，y）
由

BF

=3

FC

，得：（c，b）=3（x-c，y）
解得：C（

4

3

c，

b

3

）代入椭圆方程得：

16c2

9a2

+

1

9

=1，
∴e=

c

a

=

2

2

，a²=2c²，b=c；
（2）由（1）椭圆方程可写为

x2

2b2

+

y2

b2

=1，点C（

4

3

b，

b

3

），
直线AC：x+2y-2b=0，S△ABC=

4

3

b2，AC=

2 5

3

b，
设点P（x，y）：x²+2y²=2b²，点P到直线AC距离为d=

|x+2y-2b|

5

，
（x+2y）²=x²+4y²+4xy≤x²+4y²+2（x²+y²）=3（x²+2y²）=6b²，
∴d_max=

6 -2

5

b，
∴由S_max=

6 +2

3

b2=

6 +2

3

，b²=1，椭圆方程为：x²+2y²=2
注：本题也可以求出平行于直线AC的切线：x+2y=

6

b，得到点到直线AC的最大距离dmax=

6 -2

5

b解题．

点评：本题考查椭圆的简单性质与标准方程的应用，求得（x+2y）²≤6b²，是关键也是难点，考查综合分析与转化应用的能力，属于难题．